理化補充-牛頓第三運動定律

在經典力學裏,牛頓第三定律(Newton’s third law)表明,當兩個物體互相作用時,彼此施加於對方的力,其大小相等、方向相反。力必會成雙結對地出現:其中一道力稱為「作用力」;而另一道力則稱為「反作用力」(拉丁語 actio 與 reactio 的翻譯),又稱「抗力」;兩道力的大小相等、方向相反。它們之間的分辨,是純然任意的;任何一道力都可以被認為是作用力,而其對應的力自然地成為伴隨的反作用力。這成對的作用力與反作用力稱為「配對力」。牛頓第三定律又稱為「作用與反作用定律」,在本文內簡稱為「第三定律」。

第三定律以方程式表達為

\sum \mathbf{F}_{A,B}  = - \sum \mathbf{F}_{B,A} ;

其中,\mathbf{F}_{A,B} 是物體B施加於物體A的力,\mathbf{F}_{B,A} 是物體A施加於物體B的力。

兩種版本

作用與反作用定律又分為兩種版本:強版本和弱版本。這裡,第三定律所表述的是「弱版作用與反作用定律」。而「強版作用與反作用定律」,除了弱版作用與反作用定律所要求的以外,還要求作用力和反作用力都作用在同一條直線上。萬有引力與靜電力都遵守強版作用與反作用定律。可是,在某些狀況下,作用力和反作用力並不同線(兩作用點的連線)。例如,兩個呈平移運動的電荷,其平移速度相同,但是,並不垂直於兩電荷的連線,由必歐-沙伐點電荷定律與勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不同線。這對力只遵守弱版作用與反作用定律。又例如,假設兩個呈平移運動的電荷,其移動的速度相互垂直,則它們各自感受到的電磁力不遵守弱版作用與反作用定律。

牛頓的論述

拉丁文原版第三定律的英文與中文翻譯分別為

To every action there is always opposed an equal reaction: or the mutual actions of two bodies upon each other are always equal, and directed to contrary parts.
每一個作用力都對應著一個相等反抗的反作用力:也就是說,兩個物體彼此施加於對方的力總是大小相等、方向相反。
馬拉石頭案例示意圖。同樣顏色的兩個向量標誌代表一對作用力與反作用力。
牛頓用馬拉石頭的例子來解釋。假設用馬來拖拉石頭,則馬也會同樣地被石頭拖拉,因為分別在兩端繫住馬和石頭的繩索,其施加於馬的張力

\mathbf{T}_{\mathrm{h,s}} 來自於石頭的拖拉,會趨於將馬拉向石頭,如同其施加於石頭的張力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 來自於馬的拖拉,會趨於將石頭拉向馬一般,這力 \mathbf{T}_{\mathrm{h,s}} 會阻礙馬的拖拉,如同力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 會促使石頭的前進一般。

既然馬與石頭都同樣拖拉對方,為什麼馬與石頭會朝著馬的方向(稱為前方)前進,而不是朝著石頭的方向(稱為後方)前進?這是因為馬與石頭已經朝著前方呈勻速運動前進,石頭感受到來自於馬的張力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 恰巧抵銷了石頭遭遇的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} (朝著後方),即 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}}=-\mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} ,沒有淨力促使其加速或減速,馬感受到來自於石頭的張力 \mathbf{T}_{\mathrm{h,s}} 又恰巧抵銷了地面施加於馬的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{h,g}} (朝著前方), \mathbf{T}_{\mathrm{h,s}}=-\mathbf{f}_{\mathrm{h,g}} ,淨力也等於零,所以馬與石頭仍舊會朝著馬的方向呈勻速運動。注意到 \mathbf{f}_{\mathrm{h,g}} 與 \mathbf{T}_{\mathrm{h,s}} 不是一對作用力與反作用力; \mathbf{f}_{\mathrm{h,g}} 與馬施加於地面的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{g,h}} 是一對作用力與反作用力。同樣地,\mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} 與 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 不是一對作用力與反作用力; \mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} 與馬施加於地面的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{g,s}} 是一對作用力與反作用力。

假設在最開始時,馬與石頭都呈靜止狀態,而石頭感受到來自於馬的張力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 大於石頭遭遇的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{s,g}},即 |\mathbf{T}_{\mathrm{s,h}}|>|\mathbf{f}_{\mathrm{s,g}}| ,則石頭感受到的淨力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}}+\mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} 會促使石頭呈加速度運動。由這加速度運動所生成的慣性力,其與淨力之間的關係為大小相等、方向相反。

牛頓然後談到碰撞問題。假設物體A碰撞到物體B,改變了物體B的運動,則物體A也會朝反方向改變運動。由於這碰撞而造成的兩個物體各自對應的運動改變,假設沒有其它外力介入,則其動量的改變等同,而不是速度的改變等同。由於兩個物體各自的動量改變,其大小相等、方向相反,所以每個物體的速度改變與質量成反比。

牛頓用第三定律來推導出動量守恆。但是,根據高等物理理論,動量守恆比第三定律更為基礎(應用諾特定理,可以從伽利略不變性推導出動量守恆)。更普遍的動量守恆並不依賴於牛頓定律。

錯誤和正確的基本物理概念

為了要證實第三定律的正確性,牛頓想出一個實驗。假設在兩個互相吸引的物體A、B之間,置入一個隔離體C,防阻物體A、B聚集在一起。假若物體A或物體B之中有任何一個物體感受到更大的吸引力,例如,假若物體A感受到的吸引力大於物體B感受到的吸引力,則與物體B施加於隔離體C的壓力相比,物體A會施加更大的壓力於隔離體C。因此,隔離體C不會處於平衡狀態,它會與物體A、B共同朝著物體B的方向移動,而且永遠呈加速度運動。這樣的結果違背了第一定律。根據第一定律,假若無外力施加,則物體物體的運動速度不會改變。所以,物體A、B分別施加於隔離體C的壓力,應該大小相等、方向相反;物體A、B彼此施加於對方的吸引力,也應該大小相等、方向相反。

做這實驗並不困難。牛頓將磁石與鐵塊分別置入兩隻浮於水上的小船。由於磁石與鐵塊之間的吸引力,兩隻小船互相吸引,碰撞在一起,達成平衡靜止狀態。這樣,牛頓證實了第三定律正確無誤。

資料來源:理化補充-牛頓第三運動定律